Momenteel 28 gasten en geen leden online

gadgets

Reële getallen op de getallenas, bijzondere deelverzamelingen in R, intervallen in R


[Terug naar overzicht hoofdstuk]       [Oefening 1]      [Oefening 2]                   video


> Inleiding

Elk rationaal getal kan geschreven worden als decimale vorm of als breuk. Elke breuk kan op zijn beurt geschreven worden als een begrensde decimale vorm of als een repeterende decimale vorm en omgekeerd kan elk decimaal getal en elke repeterende decimale vorm geschreven worden als een breuk.

> Irrationaal getal

Een irrationaal getal is een getal met een onbegrensde, niet-repeterende decimale vorm. Dergelijke getallen hebben dus geen periode en dit in tegenstelling tot de rationale getallen. Een voorbeeld van een irrationaal getal is bijvoorbeeld 'wortel 2'. Indien we dit getal in de decimale vorm noteren vinden we immers 1,414213562...(er is dus geen periode!)

> Irrationale getallen en de getallenas

intervallen

           

> De reële getallen

intervallen

 

> De reële getallen en de getallenas

Axioma van de reële getallen: Elk punt van de geijkte rechte a01 heeft als abscis juist één reëel getal en elk reëel getal is de abscis van juist één punt van de geijkte rechte a01

De volgorde van de getallen in  stemt overeen met de volgorde van de overeenkomstige punten op de getallenas. Zo kunnen we stellen dat 

 ... < - 2 < -1 < -0,5 < 0 < 0,33... < 1 < √2 < 2 < √6 < 3 < 4 < ...

> Deelverzamelingen van R

deelverzamelingen  reële getallen verschillend van nul 
 deelverzamelingen positieve reële getallen
deelverzamelingen strikt positieve reële getallen
deelverzamelingen negatieve reële getallen
strikt negatieve reële getallen strikt negatieve reële getallen

 

> Grenzen van R

De verzameling  heeft geen kleinste en geen grootste element.

intervallen

> Intervallen in R

We kunnen alle reële getallen die voldoen aan de voorwaarde 2 ≤ x ≤ 5 voorstellen op de getallenas. We bekomen dan een lijnstuk met 2 en 5 als grenspunten. Deze grenspunten voldoen zelf ook aan de gestelde voorwaarde! Op de grafiek duiden we beide grenspunten aan in het groen!

intervallen


Zo kunnen we ook alle reële getallen voorstellen die voldoen aan de voorwaarde x > 2. We bekomen dan een halfrechte met het grenspunt 2. In dit geval voldoet het grenspunt echter niet aan de voorwaarde, zijnde dat x > 2. Omdat het grenspunt er niet bijhoort, duiden we het aan in het rood!

intervallen

intervallen

Hieronder bespreken we een aantal intervallen, telkens aan de hand van een voorbeeld.

 

open interval

 

gesloten interval

 In onderstaand filmpje leggen we uit hoe je de doorsnede en unie van twee verzamelingen kan bepalen.