meetkunde

Bol.com AlgemeenBol.com Algemeen

Momenteel 19 gasten en geen leden online

Spiegelingen


 [Terug naar overzicht hoofdstuk]


> Spiegeling van een punt

Als een rechte a gegeven is, kunnen we punten spiegelen om deze rechte a (= de spiegelas). Het bekomen punt wordt het spiegelbeeld genoemd.

Er zijn twee mogelijkheden:

→ Het punt X ligt niet op de spiegelas

We tekenen een loodlijn door het punt X op de spiegelas; vervolgens bepalen we op deze loodlijn een punt X' zo dat het snijpunt van de spiegelas en de loodlijn het midden is van het lijnstuk [XX'].

spiegeling

 

→ Het punt X ligt op de spiegelas zelf

Het spiegelbeeld van het punt X is het punt X zelf (om het onderscheid te maken hebben we het hieronder wel X’ genoemd)!

X wordt een dekpunt genoemd en wordt aangeduid met een lus (zie onderstaande afbeelding).

wiskunde spiegelen

De spiegeling om de rechte a noteren we als sa. Het spiegelbeeld van X om de rechte a noteren we als sa(X). In het eerste voorbeeld hierboven kunnen we dus noteren dat sa(X) = X’.

 

> Spiegeling van een figuur

Om een veelhoek te spiegelen, spiegelen we elk punt van deze veelhoek en verbinden we nadien alle bekomen spiegelbeelden. In onderstaand voorbeeld zoeken we zo eerst de spiegelbeelden van de punten A,B,C en D om de vierhoek ABCD te spiegelen om de rechte a. We noteren: sa(ABCD) = A’B’C’D’.

spiegelen in de wiskunde

 

> Spiegeling en coördinaat

Als we een punt waarvan de coördinaat gekend is, spiegelen om één van de assen van het assenstelsel, dan kunnen we de coördinaat van het spiegelbeeld bepalen.

→ Spiegelen om de x-as

Als sa(A) = A’ en co(A) = (1,3), dan is co(A’) = (1,-3). Dit wordt bevestigd op onderstaande afbeelding.

spiegelen

Algemeen:

Spiegelen we A om de x-as, dan is:

  • het eerste coördinaatgetal van A’ gelijk aan het eerste coördinaatgetal van A,
  • het tweede coördinaatgetal van A’ het tegengestelde van het tweede coördinaatgetal van A.

→ Spiegelen om de y-as

Als sa(A) = A’’ en co(A) = (1,3), dan is co(A’’) = (-1,3). Dit wordt bevestigd op onderstaande afbeelding.

spiegelas

Algemeen:

Spiegelen we A om de x-as, dan is:

  • het eerste coördinaatgetal van A’’ het tegengestelde van het eerste coördinaatgetal van A,
  • het tweede coördinaatgetal van A’’ gelijk aan het tweede coördinaatgetal van A.

 

> Spiegeling en afstand

Op onderstaande figuur zijn de punten A, B, C en D gespiegeld om de rechte a.

dekpunt

Als we de afstanden lABl en lA’B’l met elkaar vergelijken, stellen we vast dat deze gelijk zijn. We kunnen dus zeggen dat lABl = lA’B’l

Zo kunnen we ook zeggen dat lBCl en lB’C’l, dat lCDl en lC’D’l en dat lADl en lA’D’l.

We mogen besluiten dat een spiegeling de afstand tussen twee punten bewaart. Dit kan verwoord worden in de vorm van een axioma: ‘een spiegeling bewaart de afstand tussen twee punten’.

 

> Spiegelbeeld van een rechte

→ Spiegelbeeld van een rechte

Op onderstaande figuur zijn drie collineaire punten (dit zijn punten die op eenzelfde rechten liggen) A, B en C gespiegeld om de rechte a.

spiegeling van een rechte

We zien dat de spiegelbeelden A’, B’ en C’ ook collineair zijn.  We kunnen veronderstellen dat elk punt dat collineair is met A en B, een spiegelbeeld zal hebben dat eveneens collineair is met A’ en B’. Tevens vermoeden we ook dat elk punt dat collineair is met A’ en B’, het spiegelbeeld is van een punt dat collineair is met A en B.

Uit bovenstaande gegevens kunnen we afleiden dat de rechte A’B’ het spiegelbeeld is van de rechte AB om de spiegelas a.

Het spiegelbeeld van een rechte zal dus eveneens een rechte zijn!

→ Spiegelbeeld van een rechte construeren

Om het spiegelbeeld van een rechte te tekenen, tekenen we het spiegelbeeld van twee punten van de rechte en tekenen we vervolgens de rechte die bepaald wordt door deze bekomen spiegelbeelden!

Indien we het spiegelbeeld van een halfrechte willen tekenen, tekenen we de spiegelbeelden van het grenspunt én van een willekeurig punt van de halfrechte. Vervolgens tekenen we de halfrechte die bepaald wordt door deze spiegelbeelden.

Het spiegelbeeld van de spiegelas is de spiegelas zelf.

 

> Spiegelbeeld van een lijnstuk

Indien we een lijnstuk [AB] spiegelen om de rechte a, zullen we als spiegelbeeld een lijnstuk [A’B’] bekomen dat even lang is. Het spiegelbeeld van een lijnstuk is immers het lijnstuk dat bepaald wordt door de spiegelbeelden van de grenspunten.

spiegelen

We weten tevens ook dat een spiegeling de afstand tussen twee punten bewaart en bijgevolg dus ook de lengte van een lijnstuk. Hieruit volgt dat een spiegeling ook het midden van een lijnstuk bewaart!

 

 

> Spiegelbeeld van evenwijdige rechten

Op onderstaande figuur zijn de evenwijdige rechten p en q gespiegeld om de rechte a met sa(p) = p’ en sa(q) = q’.

spiegelen

We stellen vast dat p’ en q’ evenwijdige rechten zijn en dat een spiegeling bijgevolg de evenwijdigheid bewaart.

spiegelen

 

> Spiegeling en hoek

spiegelas

> Symmetrieas van een figuur

We tekenen een rechthoek ABCD en spiegelen deze om de rechte a. Dit doen we in twee verschillende gevallen (zie onderstaande afbeeldingen).

Geval 1:

Het spiegelbeeld van de rechthoek ABCD om de rechte a noemen we A’B’C’D’.

spiegelen

 

Geval 2:

Het spiegelbeeld van de rechthoek ABCD om de rechte a noemen we A’B’C’D’. We zien dat het spiegelbeeld van de rechthoek, de rechthoek zelf is! In dergelijk geval zeggen we dat de spiegelas een symmetrieas is van de rechthoek! Merk op dat een figuur meerdere symmetrieassen kan hebben! Een cirkel heeft bijvoorbeeld oneindig veel symmetrieassen.

symmetrieassen

 

Eigenschappen van een spiegeling:

  • Elk punt van het vlak heeft juist één spiegelbeeld om een gegeven rechte
  • Het spiegelbeeld van een rechte is een rechte
  • Het spiegelbeeld van een halfrechte is een halfrechte
  • Het spiegelbeeld van een lijnstuk is een lijnstuk dat even lang is
  • Een spiegeling bewaart het midden van een lijnstuk
  • Een spiegeling bewaart de evenwijdigheid
  • Een spiegeling bewaart de loodrechte stand
  • Een spiegeling bewaart de afstand van een punt tot een rechte
  • Een spiegeling bewaart de afstand tussen evenwijdige rechten

Maak hier kennis met puntspiegelingen.