meetkunde

Bol.com AlgemeenBol.com Algemeen

Momenteel 53 gasten en geen leden online

Puntspiegelingen


[Terug naar overzicht hoofdstuk]


Om onderstaande theorie te begrijpen is het belangrijk dat je de theorie i.v.m. spiegelingen onder de knie hebt!

Als een punt O gegeven is, kunnen we een punt X puntspiegelen om dit punt O.

Er zijn twee mogelijkheden:

→ Als het punt X samenvalt met het punt O, dan is X zelf het puntspiegelbeeld van X.

puntspiegeling

→ Als het punt X verschilt van het punt O, moeten we een punt X’ bepalen zo dat O het midden is van [XX’].

puntspiegelen

Het puntspiegelbeeld van X om het punt O noteren we als ‘sO(X)’. In bovenstaand voorbeeld mogen we dus noteren dat sO(X) = X’

Om vlot te kunnen werken met het begrip ‘puntspiegeling’, geven we hier nog een overzicht van enkele benamingen i.v.m. puntspiegelingen:

  • Het punt O is het middelpunt van de puntspiegeling sO
  • Het middelpunt O wordt door een puntspiegeling om O op zichzelf afgebeeld en is bijgevolg een dekpunt van de puntspiegeling sO

 

> Puntspiegeling van een figuur

Om een veelhoek te puntspiegelen, puntspiegelen we elk punt van deze veelhoek en verbinden we vervolgens alle bekomen puntspiegelbeelden. Zo bepalen we de puntspiegelbeelden van A,B en C als we de driehoek ABC willen puntspiegelen om O. In onderstaand voorbeeld is de rode driehoek A’B’C’ het puntspiegelbeeld van de blauwe driehoek ABC.

puntspiegeling

 

> Puntspiegeling en coördinaat

Als we een punt waarvan we de coördinaat kennen, puntspiegelen om de oorsprong van een assenstelsel, dan kunnen we de coördinaat van het puntspiegelbeeld bepalen.

Als sO(A) = A’ en co(A) = (2,1), dan is co(A’) = (-2,-1). Dit wordt bevestigd op onderstaande afbeelding.

puntspiegeling

Algemeen:

Bij een puntspiegeling van A om O  is:

  • het eerste coördinaatgetal van A’ gelijk aan het tegengestelde van het eerste coördinaatgetal van A,
  • het tweede coördinaatgetal van A’ gelijk aan het tegengestelde van het tweede coördinaatgetal van A.

 

> Puntspiegeling en draaiing

Een puntspiegeling om O is een draaiing rond O over 180°. Dit wordt bekrachtigd door onderstaande afbeelding.

puntspiegelen

Omdat een puntspiegeling dus een draaiing is, gelden alle eigenschappen van een draaiing ook voor een puntspiegeling!

sO = r(O,180°) 

 

> Puntspiegelbeeld van een rechte

Om het puntspiegelbeeld van een rechte te bespreken, dienen we twee verschillende mogelijkheden in acht te nemen:

→ Het middelpunt van de puntspiegeling ligt niet op de rechte

Om het puntspiegelbeeld van de rechte a te tekenen, tekenen we de loodlijn x door O op de rechte a en bepalen we het puntspiegelbeeld A’ van het voetpunt A.

puntspiegeling

Omdat x loodrecht staat op de rechte a én een puntspiegeling de loodrechte stand bewaart, zal x ook loodrecht staan op a’.

De rechte a en zijn puntspiegelbeeld a’ staan dus beide loodrecht op x en zijn bijgevolg evenwijdig!

 

→ Het middelpunt van de puntspiegeling ligt op de rechte

Als het middelpunt van de puntspiegeling op de rechte ligt, dan is het puntspiegelbeeld van de rechte zelf!

puntspiegelen

 

> Symmetriecentrum van een figuur

Op onderstaande afbeeldingen zullen we het vierkant ABCD telkens puntspiegelen om het punt O. We kunnen daarbij twee gevallen onderscheiden:

→ Het beeld van het het blauwe vierkant ABCD door sO is het rode vierkant A’B’C’D’.

puntspiegelen

 

→ Het beeld van het vierkant ABCD door sO is het vierkant zelf. In dergelijk geval zeggen we dat het punt O een symmetriecentrum is van het vierkant.

puntspiegeling

Definitie: Het middelpunt van een puntspiegeling die een figuur op zichzelf afbeeldt, noemen we een symmetriecentrum van de figuur.

Eigenschappen van een puntspiegeling

  • Elk punt van het vlak heeft juist één puntspiegelbeeld om een gegeven punt
  • Een puntspiegeling met middelpunt O is een draaiing rond O over 180°
  • Alle geldende eigenschappen van een draaiing gelden ook voor een puntspiegeling!
  • Het beeld van een rechte door een puntspiegeling is een rechte die dezelfde richting heeft als de gegeven rechte